2014/11/11 寫於高微期中考後…

這次高微期中考，對大二的同學來說想必是個震撼教育，而從很多我聽到的資訊來判斷，這個結果似乎不意外！所以我想利用這篇文章，跟大家分享一下高微究竟是怎樣的一門課，並且該如何來唸這個科目。

首先，我要再次強調的是：這次的考題並沒有要刁難同學的意思。事實上，這份考題與上個學年上學期的第一次期中考考題相比，難度大致相同。老師們的預期，至少定義廿分，還有第五題的第二小題的這卅分是一定要拿分數的送分題。但是很多同學卻考出低於卅分的成績，這就很出乎老師們的意料之外了。以定義題而言，也許有同學會覺得如果有所謂的部份給分，成績就不至於會這麼慘了，關於這部份我也要做個說明。所謂定義，就是沒有模糊空間的，例如在批改最後一題的過程中，有些同學在定義 cluster point 時是寫 #{n | x_n ∉ (x-ε,x+ε)} < ∞，然後就直接得到結論，假設這題出在定義題，寫這樣只能是全錯，不可能因為說「只是把屬於寫成不屬於，然後把等於寫成小於」，就給部份分數！在數學上，定義是非常重要的，只有你我對某個東西的看法是一致時才能討論下去，這也是為什麼小考和期中考一再考定義的原因。這個部份，就是期望大家徹底了解定義為什麼要那樣定，然後背起來。 　　

接下來是第五題的第二小題，這題老師們在上課時都強調過只有實數系上的柯西數列才收斂，但是很多同學都在設法證明在一般的有序體上的柯西數列收斂，這表示大家沒花時間去想清楚到底實數和一般有序體有什麼樣的差別！另外，第三題的兩個小題都是習題，助教也在演習課時都講過這題的證明，結果考出來很少人會。事實上，原本老師們的正常預期是有五十分的送分題，就是定義、第三題習題加上第五題第二小題的五十分。至於其它的題目，事實上第二題很簡單（只要真的懂什麼叫 sup 應該就能做出來），第四題是習題（但是化妝過，導致很多同學看不出來是習題），第五題的另外兩個小題，除了第一小題是大陷阱，第三小題也是共筆裡面的東西。總而言之，這次期中考考成這樣，同學們自己可能要負很大的責任。

也許大部份第一次修高微（甚至是重修高微）的同學，都認為高微就是把所有的東西背下來就搞定了。事實上這只是表象！學習數學有兩個部份，一是理解一是背誦，缺一不可。首先講講背誦的部份。很多同學從以前的學習經驗，都認為數學應該不需要背吧？但是進入這個階段的數學，把事情講清楚（也就是證明）變成很重要的一部份，而大家目前只能從背誦去學著怎麼寫證明。證明這種東西只是把之前大家寫算式時一行一行的計算過程，改成以文字的方式鋪陳。如果大家還記得在學三角函數時曾證明過一些恆等式，當時也是一行一行算，用這種方式說服人家該恆等式成立，而這一行一行的計算不能跳來跳去，有一定的順序。而現在，那些一行一行的等式，變成文字的邏輯（就是照順序）鋪陳，骨子裡卻是同一回事！就像中學背文言文時，先了解每句話是在講什麼之後就好背多了一樣，證明亦是如此，背誦之前得先了解每個步驟之間的邏輯關係，所以我才會強調理解和背誦缺一不可！

但是可能會有同學這麼問，「所以高微一星期得花多少時間才能學好？要先花時間了解這些抽象的概念，然後還得背下來，可能一星期花個十小時都不夠！」嗯！事實上，十小時只是最基本的要求，老師當年唸高微時可是一星期四十幾個小時這樣唸，而你們有（之前修過一星期花廿個小時唸高微的）學長分享過經驗說，花這麼多時間也只是讓自己在解決沒看過的「標準題」時有點概念。天啊！高微這麼難唸嗎？如果你的記憶力夠好，可能會記得老師在第一節課這樣說過：「因為學高微有點像是在你才剛學函數就學廣義三角函數一樣，很多東西事實上沒準備好就得趕鴨子上架，所以你現在花的時間事實上是為了補足那些沒準備好的部份。」例如修過基礎數學的同學學高微的某些部份就會覺得簡單一點點，如果有先學過邏輯，就會再覺得高微又簡單了一點點… 就這樣東學學西學學之後再來學高微的話，那時大家都會覺得：「哦… 高微也就是那樣，沒什麼嘛！」但是問題是現在沒時間讓大家去做準備了！這就像大家以後開始工作後常常會遇到的情況，常常手上接到 case 才發現自己懂的東西很少，怎麼辦？上司交代的東西還是得完成，這時就是要找捷徑，去把該學的學會，只要學會能看懂這個 case 的知識就好！現在學高微也是一樣，集合論就是學自己需要的部份就好、邏輯也只用數理邏輯就好，等等等等… 這些部份有些同學之前有點涉獵的話，那麼現在學高微時就會覺得還好，若是完全沒涉獵，那鐵定覺得高微像天書了…

第二次期中考的範圍，我曾說過是整個高微最簡單的部份，具體且不那麼抽象，所以第一次沒考好的同學不要氣餒，你絕對有機會在第二次期中考扳回一城！但是，這不表示接下來的這次期中考範圍每個星期可以花少於十個小時的時間唸就行…請大家無論如何都要盡量擠出時間讀高微，而且是擠出完整的時間而不是零碎的時間。這階段的數學跟很多別的科目不一樣，需要坐下來好好思考，去設法用自己的方式理解定義（但是不能理解錯誤）、去設法想習題怎麼寫（老師在大學時代也常常一個問題想一個星期不去找解答），要經過這樣的反覆磨練之後才可能把辯證的技巧好好地學起來。高微學過的內容也許將來大家都會忘掉，但是這個辯證的技巧會跟著大家一輩子，成為你思想的一部份，而這也是數學系裡所有必修選修科目綜合起來會帶給大家的資產！所以，請大家不要因為第一次的分數挫折而放棄高微，我期望大家能從這次的考試結果中看見自己在學習方面的缺點，鼓起勇氣面對它，然後繼續往未來的挑戰邁進！

同學們，加油！